Espacios vectoriales

 ¿Qué son los espacios vectoriales?

Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo), con 8 propiedades fundamentales.

Enumere los 8 axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial.

debe cumplir con 10 axiomas o propiedades las cuales son las siguientes:

U, V, W (vectores)   -    c, d (escalares)

- 1. u + v   ∈ R

- 2. u + v   =   (v + u)

- 3. u + 0   =   u

- 4. u + (-u)   =   0

- 5. (u + v) + w   =   u + (v + w)

- 6. (c . v)   ∈  R

- 7. c (u + v)    =   c . u + c. v

- 8. (c + d) v   =   c . v + d. v

- 9. (c . d) . v   =   c . (d . v)

- 10. 1 . v   =   v

¿Qué es un subespacio vectorial?

En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V (el espacio vectorial original

Sea V un espacio vectorial sobre un campo F. Un subespacio vectorial de V, o simplemente un subespacio de V, es un subconjunto no vacío W de V cerrado bajo las operaciones de suma vectorial y multiplicación escalar de V. En otras palabras, W es un subespacio de V si se cumplen las siguientes dos propiedades:

1. (Cerradura de la suma vectorial) Para cualesquiera u y v elementos de W, se cumple que u+v está en W.
2. (Cerradura de la multiplicación por escalar) Para cualquier escalar c en F y vector v en W se cumple que cv está en W.

Enumere las tres propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio.

1). El vector cero de V está en H.2

 

2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en   

      H, la suma u + v está en H.

 

3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada

     u en H y  cada escalar c, el vector cu está en H. 

Explique cuales son la dimensión y el rango de un subespacio y que es una base.

Base: Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.

Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio.

Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio. conjunto de vectores de dicho espacio.

 Propiedades de la dimensión.

 - Significado físico de la dimensión: el espacio tiene dimensión 3, los planos dimensión 2, las rectas dimensión 1, el punto dimensión 0.

El subespacio {0} es el único de dimensión 0. - La dimensión de un subespacio en ℜ n , coincide con número de parámetros libres en su forma paramétrica. (1 parámetro=recta, 2 parámetros= plano...)

- Si S y T son subespacios y S está contenido en T, entonces dim S .≤ dim T Además, si se da la igualdad, dim S = dim T, entonces ambos espacios han de coincidir.

- El rango de una familia de vectores, es igual a la dimensión del subespacio que generan.

- Es decir: si v 1 ,v 2 ,. . . v n generan un cierto subespacio S, y si el rango de dicho conjunto es r, entonces dim S = r