Transformaciones lineales

 

INTRODUCCIÓN

En el presente informe sobre las transformaciones lineales en algebra lineal, abordaremos sobre su definición, campos de uso, propiedades y ejemplos de su uso.

Las trasformaciones lineales es una aplicación entre dos espacios vectoriales, con lo que se busca preservar las operaciones de adición de vectores y multiplicación por un escalar.

Este tipo de transformaciones intervienen en varios procesos matemáticos, por ejemplo, en geometría nos sirve para modelar la simetría de un objeto, en algebra se utiliza para simular ecuaciones, en análisis sirve para aproximar localmente funciones, etc.

¿QUE ES UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL?

Una transformación lineal, a la que llamaremos simplemente T, relaciona a los elementos de dos espacios vectoriales V y W, asignando a cada vector v perteneciente a V un único vector w que pertenece a W, a través de una operación específica.

Dicha transformación cumple dos condiciones:

Condición 1

Se refiere a la adición, para que una transformación T sea lineal, tiene que cumplirse que:

T (v + w) = T (v) + T (w)

Condición 2

La segunda condición representa la homogeneidad en la multiplicación de un escalar por un vector:

T (cv) = c⋅T (v)

La transformación lineal, tal como su nombre lo indica, se encarga de mapear o transformar elementos de V en elementos de W.

PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

Supongamos una transformación lineal T de V en W, en la cual los vectores v y u pertenecen a V, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

Propiedad 1

T (0) = 0

Donde 0 es el vector nulo.

Propiedad 2

T (-v) = – T (v)

Propiedad 3

T (u  – v) = T (u) – T(v)

Propiedad 4

Sea v = c₁v₁ + c₂v₂ + …. +  c_nv_n

 Entonces:

T (c₁v₁ + c₂v₂ + …. +  c_nv_n) = c₁ T(v₁) + c₂ T(v₂) + …. +  c_n T(v_n)

TEOREMA

Este teorema, conocido también como «Teorema de existencia y unicidad de una transformación lineal», dice lo siguiente:

Sean los espacios vectoriales VV y W, sea B={v1,v2,…,vn}unabasedeVB={v1,v2,…,vn}unabasedeV y w1,w2,…,wnw1,w2,…,wn vectores cualesquiera (iguales o distintos) de WW. Entonces existe una única transformación lineal que verifica:

EJEMPLO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

 

Analizar si la siguiente función es una transformación lineal:

Controlemos primero que el transformado del 0V0V sea el 0W0W. Ésta es una condición necesaria: si no se cumpliera, no sería transformación lineal. Como T((0,0,0))=(0,0)T((0,0,0))=(0,0), la función dada es «candidata» a ser transformación lineal. Para demostrar que es una transformación lineal tenemos que comprobar las condiciones dadas en la definición.

 

Condición 1: T(u+v)=T(u)+T(v)∀u,v∈V

Tomemos dos vectores de R3

 

u=(u1,u2,u3)

 

v=(v1,v2,v3)

 

Ahora veamos  si : T(u+v)=T(u)+T(v)

 

Primero hacemos la suma de uu y vv:

Y ahora aplicamos TT:

 

T(u+v)=(u1+v1+u3+v3,u2+v2–2u3–2v3)

T(u+v)=T(u)+T(v)

 

En conclusión: se cumple la primera de las condiciones.

Nos faltaría la otra propiedad.

Condición 2: T(k.v)=k.T(v)∀v∈V,∀k∈R

 

T(k.v)=T((kv1,kv2,kv3))=(kv1+kv3,kv2–2kv3)

=k.(v1+v3,v2–2v3)=k.T(v)

Como TT cumple las dos condiciones, es una transformación lineal.

 

CONCLUSIONES

-       Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en algebra lineal. Estas, por ser funciones, tienen dominio y codominio, con la particularidad de que estos son espacios vectoriales.

 

-       Las transformaciones son funciones, por ende, pueden ser inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

 

-       De igual manera que las funciones tradicionales, las transformaciones tienen tres partes que son el dominio, codominio y la regla de asignación.